Question

13．設(shè)全集U=R，A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²-4x+3a²＜0}，
（1）求全集A，B，C；
（2）試求實數(shù)a的取值范圍，使C⊆A∩B；
（3）試求實數(shù)a的取值范圍，使C?∁_UA∩∁_UB．

Answer 1

分析 （1）分別求出x²-x-6＜0和x²+2x-8＞0的解集，即求出集合A、B，再分類討論求出集合C；
（2）根據(jù)交集，求出A∩B，分類討論即可求出a的范圍；
（3）由補(bǔ)集的運算求出∁_UA∩∁_UB），分類討論即可求出a的范圍．

解答 解：（1）由不等式的解法，全集U=R，A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，
∴A={x|x²-x-6＜0}=（-2，3），B={x|x²+2x-8＞0}=（-∞，-4）∪（2，+∞），
對于C，當(dāng)△=16-12a²≤0時，即a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，C=∅，
當(dāng)△=16-12a²＞0時，即-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，解得2-2$\sqrt{4-3a}$＜x＜2+2$\sqrt{4-3a}$，
∴C=（2-2$\sqrt{4-3a}$，2+$\sqrt{4-3a}$），
（2）∵A∩B=（2，3），C⊆A∩B，C={x|x²-4x+3a²＜0}，
 當(dāng)C=∅時，滿足C⊆A∩B，
當(dāng)C≠∅時，$\left\{\begin{array}{l}{2-2\sqrt{4-3a}≥2}\\{2+2\sqrt{4-3a}≤3}\end{array}\right.$，解得a=∅，
∴a的取值范圍為：a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（3）∵∁_UA∩∁_UB=（-∞，-2]∪[3，+∞）∩[-4，2]=[-4，-2]，
∴當(dāng)C=∅時，滿足C?∁_UA∩∁_UB，
當(dāng)C≠∅時，$\left\{\begin{array}{l}{2-2\sqrt{4-3a}≤-4}\\{2+2\sqrt{4-3a}≤-2}\end{array}\right.$，解得a=∅，
∴a的取值范圍為：a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運算，利用集合之間的關(guān)系、分類討論思想求參數(shù)的范圍，以及一元二不等式的解法．