Question

2．已知函數(shù)f（x）滿足條件f（$\frac{x-t+1}{2}$）=2log₂（x+1），其中t是實常數(shù)．
（1）求f（x）；
（2）當x∈[0，1]時，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，求t的取值范圍；
（3）當t=4時，令g（x）=f（x）-log₂（x+1），x∈[-$\frac{1}{2}$，1]．求函數(shù)g（x）的最大值和最小值及其相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x-t+1}{2}$=m，則x=2m-1+t，代入原式，即可得到f（x）的解析式；
（2）由題意可得2x+t≥$\sqrt{x+1}$對x∈[0，1]恒成立，即t≥$\sqrt{x+1}$-2x的最大值．運用換元和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍；
（3）運用對數(shù)的運算性質(zhì)和換元法，以及對號函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值．

解答 解：（1）令$\frac{x-t+1}{2}$=m，則x=2m-1+t，
即有f（m）=2log₂（2m+t），
即為f（x）=2log₂（2x+t）；
（2）當x∈[0，1]時，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，
即為2x+t≥$\sqrt{x+1}$對x∈[0，1]恒成立，
即t≥$\sqrt{x+1}$-2x的最大值．
可令n=$\sqrt{x+1}$（1≤n≤$\sqrt{2}$），
則y=n-2（n²-1）=-2（n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
區(qū)間[1，$\sqrt{2}$]在對稱軸n=$\frac{1}{4}$的右邊，為減區(qū)間，
即有n=1，即x=0，取得最大值，且為1，
則有t≥1；
（3）當t=4時，g（x）=f（x）-log₂（x+1）
=2log₂（2x+4）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$，
由x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得x+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
可令s=x+1，（s∈[$\frac{1}{2}$，2]），
則有$\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$=$\frac{4{s}^{2}+8s+4}{s}$=4（s+$\frac{1}{s}$+2）
在[$\frac{1}{2}$，1]遞減，在（1，2]遞增，
則s=1，即x=0，取得最小值且為16，
s=$\frac{1}{2}$或2，即x=-$\frac{1}{2}$或1，取得最大值且為18，
則有當x=0時，g（x）取得最小值4；
當x=-$\frac{1}{2}$或1，取得最大值log₂18．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查不等式恒成立問題的解法，同時考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及運算求解能力，屬于中檔題．