Question

10．關(guān)于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的兩根之差的絕對(duì)值小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由△≥求得m≥5，或 m≤-1，且兩根之差的絕對(duì)值|x₁-x₂|＜2，求得m²-4m+7＜0的解集，綜合可得m的范圍．

解答 解：∵關(guān)于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的兩根之差的絕對(duì)值小于2，∴△=[-4（m-1）]²-8（m²+7）≥0，
即 m²-4m-5≥0，求得m≤-1或 m≥5 ①．
又x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}+7}{2}$，
故兩根之差的絕對(duì)值|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{[2（m-1）]}^{2}-4•\frac{{m}^{2}+7}{2}}$＜2，
即 m²-4m+7＜0，求得2-$\sqrt{11}$＜m＜2+$\sqrt{11}$ ②．
綜合①②可得，2-$\sqrt{11}$＜m≤-1，或5≤m＜2+$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．