Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$（a＞1），判斷f（x）=0的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 f（x）=0是否有根，即看函數(shù)y=a^x和y=-$\frac{x-2}{x+1}$交點的個數(shù)，所以通過畫圖即可得出結(jié)論．

解答 解：$\frac{x-2}{x+1}$=1-$\frac{3}{x+1}$，
∴由f（x）=0得，a^x=$\frac{3}{x+1}$-1，
∴函數(shù)y=a^x與y=$\frac{3}{x+1}$-1圖象交點的橫坐標即是上面方程的解，
而y=$\frac{3}{x+1}$-1圖象是由y=$\frac{3}{x}$的圖象
沿x軸向左平移一個單位，向上平移一個單位得到，所以圖象如下所示：
由圖象可看出y=a^x與y=$\frac{3}{x+1}$-1
圖象交點的橫坐標大于0；
即方程f（x）=0的根的個數(shù)為1．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，圖象平移的知識，屬于中檔題．