Question

18．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2．
（1）求BC₁與平面ABCD所成角的余弦值；
（2）證明：AC₁⊥BD；
（3）求AC₁與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意，BC₁與平面ABCD所成角就是∠C₁BC，即可求出BC₁與平面ABCD所成角的余弦值；
（2）證明BD⊥平面ACC₁，即可證明AC₁⊥BD；
（3）AC₁與平面ABCD所成角就是∠C₁AC，即可求AC₁與平面ABCD所成角的余弦值．

解答 （1）解：由題意，BC₁與平面ABCD所成角就是∠C₁BC，tan∠C₁BC=2，∴cos∠C₁BC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）證明：因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥CC₁，AC∩CC₁=C，所以BD⊥平面ACC₁，∴AC₁⊥BD；
（3）解：AC₁與平面ABCD所成角就是∠C₁AC，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，
∴AC₁=$\sqrt{6}$，
∴cos∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查空間角，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．