Question

6．已知sinα=$\frac{1}{2}$-cosα，則$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$的值為-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 已知可化為sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，由三角函數(shù)公式可得$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα），代值計算可得．

解答 解：$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{sinα•\frac{\sqrt{2}}{2}-cosα•\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{sinα-cosα}$
=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα），
∵sinα=$\frac{1}{2}$-cosα，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，
∴原式=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，涉及二倍角公式和和差角的三角函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．