Question

12．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱AA₁和棱CC₁的中點．求證：EB₁∥DF，ED∥B₁F．（提示：設(shè)G是DD₁的中點，分別連接EG，GC₁）

Answer 1

分析 設(shè)G是DD₁的中點，分別連接EG，GC₁，推導(dǎo)出DFC₁G是平行四邊形，EB₁C₁G是平行四邊形，從而DFB₁E是平行四邊形，由此能證明EB₁∥DF，ED∥B₁F．

解答 證明：設(shè)G是DD₁的中點，分別連接EG，GC₁
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱AA₁和棱CC₁的中點，
∴DG$\underset{∥}{=}$FC₁，∴DFC₁G是平行四邊形，
∴GC₁$\underset{∥}{=}$DF，
又EG$\underset{∥}{=}$B₁C₁，∴EB₁C₁G是平行四邊形，
∴GC₁$\underset{∥}{=}$EB₁，
∴EB₁$\underset{∥}{=}$DF，∴DFB₁E是平行四邊形，
∴EB₁∥DF，ED∥B₁F．

點評 本題考查直線與直線平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意平行公理的合理運用．