Question

8．已知f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$mx²-x，m∈R，當(dāng)m=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）=xlnx+x²-x，再求導(dǎo)f′（x）=lnx+2x；從而可判斷存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）=0；且f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)；而f（1）=0，再判斷在（0，1）上無(wú)零點(diǎn)即可．

解答 解：當(dāng)m=-2時(shí)，f（x）=xlnx+x²-x，
f′（x）=lnx+1+2x-1=lnx+2x；
故f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）=0；
故f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)；
而f（1）=0+1-1=0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，
xlnx+x²-x=0可化為xlnx=x-x²，
左邊=xlnx＜0，右邊=x-x²＞0，
故方程xlnx+x²-x=0在（0，1）上無(wú)解，
綜上所述，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．