Question

13．f（x）是定義于非負(fù)實(shí)數(shù)集上且取非負(fù)實(shí)數(shù)值的函數(shù)，求所有滿足下列條件的f（x）．
（1）f（xf（y））f（y）=f（x+y）；
（2）f（2）=0；
（3）當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）≠0．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的定義，利用賦值法，結(jié)合條件進(jìn)行推理即可．

解答 解：令x=0，由（1）有f（0）f（y）=f（y），故f（0）=1
令y=2，由（1）有f（xf（2））f（2）=f（x+2），
再由（2）知f（2）=0，故f（x+2）=0對(duì)任意的x≥0成立；
故當(dāng)x≥2時(shí)f（x）=0恒成立，
令x+y=2  （x，y∈R+），
則由（1）知f（xf（2-x））f（2-x）=f（2）=0
因?yàn)椋?）知當(dāng)0≤x＜2時(shí)f（x）≠0，即f（2-x）≠0，
所以f（xf（2-x））=0，
于是有xf（2-x）=2，
求得f（x）=$\frac{2}{2-x}$
綜合上述，
所有滿足條件的f（x）為以下分段函數(shù)：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）=$\frac{2}{2-x}$，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=0，
即$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{2-x}，}&{0≤x＜2}\\{0，}&{x≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度相當(dāng)大．