Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{ax}^{2}+bx}{x+2}$，函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是5x-4y+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=ln（x+2）-mf（x）-ln2，若當(dāng)x∈[0，+∞）時，恒有g(shù)（x）≤0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是5x-4y+2=0，建立方程組，即可求a，b的值；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$，g（x）=ln（x+2）-m$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$-ln2（x＞-1），求導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)建新函數(shù)h（x）=-mx²+（1-4m）x+2-8m，分類討論，確定g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=$\frac{（2ax+b）（x+2）-（a{x}^{2}+bx）}{（x+2）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+4ax+2b}{（x+2）^{2}}$．
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是5x-4y+2=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a+b}{2}=3}\\{\frac{6a+b}{8}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=4；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$，
∴g（x）=ln（x+2）-m$\frac{{x}^{2}+4x}{x+2}$-ln2（x＞-1），
則g′（x）=$\frac{-m{x}^{2}+（1-4m）x+2-8m}{（x+2）^{2}}$，
令h（x）=-mx²+（1-4m）x+2-8m，
當(dāng)m=0時，h（x）=x+2，在x∈[0，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則g（x）≥g（0）=0，不滿足題設(shè)；
當(dāng)m＜0時，∵-$\frac{1-4m}{-2m}$=$\frac{1}{2m}-2＜0$且h（0）=2-8m＞0，
∴x∈[0，+∞）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則g（x）≥g（0）=0，不滿足題設(shè)；
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{4}$時，則△=（1-4m）²+4m（2-8m）=1-16m²＞0，
由h（x）=0得，${x}_{1}=\frac{4m-1-\sqrt{1-16{m}^{2}}}{-2m}$＞0，${x}_{2}=\frac{4m-1+\sqrt{1-16{m}^{2}}}{-2m}$＜0．
則x∈[0，x₁）時，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x₁）上是增函數(shù)，則g（x₂）≥g（0）=0，不滿足題設(shè)；
當(dāng)m≥$\frac{1}{4}$時，△=（1-4m）²+4m（2-8m）=1-16m²≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，則g（x）≤g（0）=0，滿足題設(shè)．
綜上所述，m∈[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵，是壓軸題．