Question

7．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥面ABC，則球O的表面積為$\frac{40}{3}$π．

Answer 1

分析 通過底面三角形ABC求出底面圓的半徑AM，判斷球心到底面圓的距離OM，求出球O的半徑，即可求解球O的表面積．

解答 解：△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$
底面三角形的底面半徑為：AM=CM=$\frac{\sqrt{7}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
AP是球的弦，PA=2，∴OM=1，
∴球的半徑OA=$\sqrt{1+\frac{7}{3}}$=$\sqrt{\frac{10}{3}}$．
該球的表面積為：4πOA²=$\frac{40}{3}$π．
故答案為：$\frac{40}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的表面積的求法，球的內(nèi)接體，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．