Question

16．已知函數(shù)y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所過定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)，若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 由于函數(shù)y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所過定點(diǎn)為（2，3），可得a₂=2，a₃=3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=n，b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：函數(shù)y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所過定點(diǎn)為（2，3），
∴a₂=2，a₃=3，
∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=3-2=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+n-2=n，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
∴T₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．