Question

20．命題P：-2＜$\frac{1}{3}$（1-a）＜2，命題Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，命題P、Q中有且僅有一個為真命題，則實(shí)數(shù)a的范圍（-5，-4]∪[7，+∞）．

Answer 1

分析 求解不等式化簡命題P，由A∩B=∅，結(jié)合一元二次方程根的分布列式求解Q，再由命題P、Q中有且僅有一個為真命題，結(jié)合補(bǔ)集思想求得實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：由-2＜$\frac{1}{3}$（1-a）＜2，得：-5＜a＜7．
∴P：-5＜a＜7．
由A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，說明方程x²+（a+2）x+1=0無正根，
即（a+2）²-4＜0或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a+2}{2}≤0}\\{f（0）=1≥0}\end{array}\right.$，解得：a＞-4．
∴Q：a＞-4．
命題P、Q中有且僅有一個為真命題，則“P真Q假”或“P假Q(mào)真”．
若P真Q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，即-5＜a≤-4；
若P假Q(mào)真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤-5或a≥7}\\{a＞-4}\end{array}\right.$，即a≥7．
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是（-5，-4]∪[7，+∞）．
故答案為：（-5，-4]∪[7，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了不等式的解法，訓(xùn)練了一元二次方程根的分布，解答此題的關(guān)鍵是補(bǔ)集思想的運(yùn)用，是中檔題．