Question

5．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)一切x＞0，y＞0都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），當(dāng)x＞1時(shí)，總有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明．
（3）若f（4）=6，解不等式f（x-1）≤3．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用單調(diào)性的定義，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判斷符號(hào)即可；
（3）依題意，由f（4）=6，求出f（2）=3，將不等式f（x-1）≤3進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（4）=6，
∴f（$\frac{2}{\frac{1}{2}}$）=f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=f（4）=6，①
f（$\frac{1}{\frac{1}{2}}$）=f（1）-f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
即f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=0，②
解得f（2）=3，
則不等式f（x-1）≤3等價(jià)為f（x-1）≤f（2），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x-1≥2，
解得x≥3，
即不等式的解集為[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．