Question

15．已知f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\sqrt{x}$．
（1）求f（x）的解析式．
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，將-x代入函數(shù)的解析式即可；（2）通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\sqrt{x}$，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=$\sqrt{-x}$=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
證明如下：
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
得f（x）在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．