Question

4．等比數(shù)列{a_n}中，a₁，a₅是關(guān)于x方程x²-bx+c=0的兩個根，其中點（c，b）在直線y=x+1上，且c=$\int_0^3$t²dt，則a₃的值是3．

Answer 1

分析 計算定積分可得c值，代點可得b值，進(jìn)而由韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)可得．

解答 解：計算定積分可得$c=\int_0^3{{t^2}dt}=\frac{1}{3}{t^3}|_0^3=9$，
再由點（c，b）在直線y=x+1可得b=10，
∴原方程可化為x²-10x+9=0，
由韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)可得${a_3}^2={a_1}{a_5}=9$，
∵a₁a₅＞0，a₁+a₅=10＞0，
∴a₁，a₅＞0，從而a₃＞0，∴a₃=3．
故答案為：3．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及定積分的計算，屬中檔題和易錯題．