Question

15．已知函數f（x）=2sinx•cosx+2cos²x-1，
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）求函數f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式，化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求得f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）根據函數f（x）的解析式，再根據正弦函數的最值，求得函數f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合．

解答 解：（1）函數f（x）=2sinx•cosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數的單調增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得當2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$，
此時，x取值的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數的單調性和最值，屬于基礎題．