Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 由題意，P（c，2c），代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得e⁴-6e²+1=0，即可得出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，P（c，2c），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$=1，
∴e⁴-6e²+1=0
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．