Question

4．在二項(xiàng)式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的第四項(xiàng)；
（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng)；
（3）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)由于展開式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，結(jié)合前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，求得n=8，從而求得展開式的第四項(xiàng)．
（2）在展開式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得常數(shù)項(xiàng)．
（3）在二項(xiàng)式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，令x=1，可得各項(xiàng)系數(shù)和．

解答 解：（1）由于展開式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，r=0，1，2，…，n，
由已知可得：${（-\frac{1}{2}）^0}C_n^0，（\frac{1}{2}）C_n^1，{（\frac{1}{2}）^2}C_n^2$成等差數(shù)列，∴$2×\frac{1}{2}C_n^1=1+\frac{1}{4}C_n^2$，
∴n=8，${T_4}=-7{x^{\frac{2}{3}}}$．
（2）令x的冪指數(shù)$\frac{8-2r}{3}$=0，求得r=4，可得常數(shù)項(xiàng)為 ${T_5}=\frac{35}{8}$．
（3）在二項(xiàng)式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，令x=1，各項(xiàng)系數(shù)和為$\frac{1}{256}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．