Question

4．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），若對任意實數(shù)x∈R，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{5π}{6}$，π]
• B． [-π，-$\frac{2π}{3}$]
• C． [-$\frac{5π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
• D． [-$\frac{2π}{3}，\frac{2π}{3}$]

Answer 1

分析 當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），分類討論．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x-3）≤f（x），可得6cosα≥3，解出即可．

解答 解：∵當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+cosα|+|x+2cosα|+3cosα）（-π≤α≤π），
∴當0＜x≤-cosα時，f（x）=$\frac{1}{2}$（-x-cosα-x-2cosα+3cosα）=-x；
當-cosα＜x≤-2cosα時，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα-x-2cosα+3cosα）=cosα；
當x＞-2cosα時，f（x）=$\frac{1}{2}$（x+cosα+x+2cosα+3cosα）=x+3cosα．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x-3）≤f（x），
∴6cosα≥3，
∴cosα≥-$\frac{1}{2}$，
解得α∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．