Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（1）證明：函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$在（1，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若b∈[-1，1]，不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x-a（a＞0）的圖象在區(qū)間（0，e²）內(nèi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，從而證出結(jié)論；
（2）問題等價(jià)于m²-2bm≥-x²+2x+2恒成立，求出-x²+2x+2的最大值，問題轉(zhuǎn)化為m²-2bm-3≥0，解不等式即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx-x+a（a＞0）在區(qū)間（0，e²）有零點(diǎn)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最大值大于0．最小值小于0，得到不等式組，解出即可．

解答 （1）證明：g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x（x+1）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）遞增；
（2）解：f（e^1-2x）=1-2x，
∴若b∈[-1，1]，不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2恒成立，
等價(jià)于1-x²≤1-2x+m²-2bm-2恒成立，
等價(jià)于m²-2bm≥-x²+2x+2恒成立，
等價(jià)于m²-2bm≥（-x²+2x+2）_max，
而-x²+2x+2≤3，
∴m²-2bm-3≥0，
解得：m＞b+$\sqrt{^{2}+3}$或m＜b-$\sqrt{^{2}+3}$；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x-a（a＞0）的圖象在區(qū)間（0，e²）內(nèi)有公共點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=lnx-x+a（a＞0）在區(qū)間（0，e²）有零點(diǎn)，
g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，兩g′（x）＜0，解得：g（x）＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，e²）遞減，
∴只需滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g{（e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1+a＞0}\\{2{-e}^{2}+a＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜e²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，本題有一定的難度．