Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+1，g（x）=f[f（x）]，是否存在實數(shù)p＜0，使得函數(shù)F（x）=pg（x）+f（x）在（-3，0）上單調(diào)遞增，且在（-∞，-3]上單調(diào)遞減？若存在，求出p的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 函數(shù)F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1，若滿足條件，則F′（-3）=0，求出p值，驗證后可得結(jié)論．

解答 解：存在p=$-\frac{1}{17}$滿足條件，理由如下：
∵函數(shù)f（x）=-x²+1，
∴g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²，
∴函數(shù)F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1，
則F′（x）=-4px³+2（2p-1）x，
若函數(shù)F（x）在（-3，0）上單調(diào)遞增，且在（-∞，-3]上單調(diào)遞減，
則F′（-3）=96p+6=0，解得：p=-$\frac{1}{16}$，
此時F′（x）=$\frac{1}{4}$x（x+3）（x-3），
當(dāng)x∈（-∞，-3]時，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-3，0）時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）為增函數(shù)，滿足條件；
故存在p=-$\frac{1}{16}$滿足條件．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．