Question

1．已知函數(shù)f（x）=k-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，k∈R．
（1）是否存在實數(shù)k使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出實數(shù)k；若不存在，請說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的判斷；
（3）當(dāng)k=1時，若不等式f（t²-2t）+f（2t²-m）＞0對于t∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為R上的奇函數(shù)，即有f（0）=0，求得k=1，再由奇偶性的定義即可得證；
（2）f（x）為R上的增函數(shù)，運用單調(diào)性的定義，即可得證；
（3）運用函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，也為增函數(shù)，由題意可得f（t²-2t）＞-f（2t²-m）=f（m-2t²），即有t²-2t＞m-2t²，即m＜3t²-2t恒成立，運用二次函數(shù)的最值的求法，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）若f（x）為R上的奇函數(shù)，即有f（0）=0，
即k-1=0，解得k=1，
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
則存在k=1，使得f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）為R上的增函數(shù)，
理由：設(shè)m＜n，f（m）-f（n）=（k-$\frac{2}{1+{2}^{m}}$）-（k-$\frac{2}{1+{2}^{n}}$）
=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，
即有f（m）-f（n）＜0，則f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為R上的奇函數(shù)，也為增函數(shù)，
不等式f（t²-2t）+f（2t²-m）＞0對于t∈R恒成立，
即為f（t²-2t）＞-f（2t²-m）=f（m-2t²），
即有t²-2t＞m-2t²，即m＜3t²-2t恒成立，
由3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時，取得最小值-$\frac{1}{3}$，
則m＜-$\frac{1}{3}$，即m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用：解不等式，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．