Question

2．已知命題α：|a-1|＜2，β：方程x²+（a+2）x+1=0沒(méi)有正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，可得命題α，β有且只有一個(gè)是真命題．

Answer 1

分析 命題α，β有且只有一個(gè)是真命題，知兩個(gè)命題一真一假，故要分為兩類(lèi)求解，α真β假或α假β真，首先要將兩個(gè)命題中的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再分類(lèi)討論．

解答 解：由命題α：|a-1|＜2，得-2＜a-1＜2，∴-1＜a＜3；
∵方程x²+（a+2）x+1=0沒(méi)有正根，分為兩類(lèi)求解，一是方程無(wú)解，二是有兩個(gè)非正實(shí)根，
令f（x）=x²+（a+2）x+1，則f（0）=1，
∴當(dāng)無(wú)解時(shí)，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；
當(dāng)有兩個(gè)非正根時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{a+2}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a≥0．
∴當(dāng)方程x²+（a+2）x+1=0沒(méi)有正根時(shí)，a的取值范圍是：a＞-4．
∵命題α，β有且只有一個(gè)是真命題，
∴當(dāng)α真β假時(shí)，得a∈∅；
當(dāng)α假β真時(shí)，得-4＜a≤-1或a≥3．
∴命題α，β有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，a的取值范圍是（-4，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是化兩個(gè)條件，尤其是命題β：方程x²+（a+2）x+1=0不存正實(shí)數(shù)根這個(gè)條件的轉(zhuǎn)化，易因忘記方程無(wú)根時(shí)也滿足無(wú)正根而導(dǎo)致錯(cuò)誤，做題是要考慮完善，轉(zhuǎn)化要注意驗(yàn)證是否等價(jià)，該題是中檔題．