Question

5．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），則
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）的最小正周期是π；
③y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}}$]上是減函數(shù)；
④將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 由誘導公式和整體思想化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），逐個選項驗證可得．

解答 解：化簡可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{2}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，正確；
②y=f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，正確；
③由2kπ≤2x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+π可得kπ+$\frac{π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{24}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{13π}{24}$]（k∈Z）
∴y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}}$]上是減函數(shù)，錯誤；
④將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，
得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）即已知函數(shù)的圖象，故正確．
故選：D

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．