Question

13．已知公比q不為1的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}$，前n項(xiàng)和為S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對n∈N₊，在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)的和為{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過2（a₅+S₅）=a₄+S₄+a₆+S₆化簡得2q²-3q+1=0，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（II）通過b_n=$\frac{3}{4}$n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，寫出T_n、$\frac{1}{2}•$T_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）由題可知：2（a₅+S₅）=a₄+S₄+a₆+S₆，
化簡得：2a₆-3a₅+a₄=0，
∴2q²-3q+1=0，
解得：q=$\frac{1}{2}$或q=1（舍），
∴a_n=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（II）依題意b_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{3}{4}$n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}[1×\frac{1}{2}+2×{（\frac{1}{2}）^2}+3×{（\frac{1}{2}）^3}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n×{（\frac{1}{2}）^n}]$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{4}[1×{（\frac{1}{2}）^2}+2×{（\frac{1}{2}）^3}+3×{（\frac{1}{2}）^4}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^n}+n×{（\frac{1}{2}）^{n+1}}]$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{4}[\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^n}-n{（\frac{1}{2}）^{n+1}}]$
=$\frac{3}{4}$•（$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．