Question

3．已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a²+b²+c²=6．
（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析題目已知a²+b²+c²=6，求a+2b+c的最大值，考慮到柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+1²）≥（a+2b+c）²，即可得到答案．
（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1-（x+m）|=|m-1|，由題意及（Ⅰ）得，|m-1|≥6，從而可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a²+b²+c²=6，
根據(jù)柯西不等式有（a²+b²+c²）（1²+2²+1²）≥（a+2b+c）²
故（a+2b+c）²≤36，即a+2b+c≤6
即a+2b+c的最大值為6，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{1}=\frac{2}=\frac{c}{1}$，即當(dāng)a=c=1，b=2時(shí)取得最大值．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閨x+1|+|x+m|≥|x+1-（x+m）|=|m-1|，
由題意及（Ⅰ）得，|m-1|≥6，得m≥7或m≤-5．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥7或m≤-5．…（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式，考查絕對(duì)值不等式的解法，掌握絕對(duì)值不等式的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．