Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1．
（1）如果不等式f（x）≥|x|-$\frac{7}{4}$對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）定義g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，求函數(shù)g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得3x²-|x|+$\frac{3}{4}$≥2mx恒成立，再分x=0、x＞0、x＜0三種情況，利用基本不等式求得m的范圍．
（2）分類討論，分別求得每一段的值域，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）由f（x）=3x²-2mx-1，f（x）≥|x|-$\frac{7}{4}$對一切實數(shù)x恒成立，
可得3x²-|x|+$\frac{3}{4}$≥2mx恒成立①．
當x=0時，顯然①成立；
當x＞0時，①即m≤$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求得$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$-$\frac{1}{2}$≥2×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$=1，∴m≤1．
當x＜0時，①即 即m≥$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求得-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{8x}$≥2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=-1，∴m≥-1．
綜上可得，-1≤m≤1．
（2）定義g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{3x}^{2}-2mx-1|，x≥0}\\{{3x}^{2}-2mx-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（-1）=2+2m．
在區(qū)間[-1，0）上，
當對稱軸x=$\frac{m}{3}$＜-1，即m＜-3時，在第二段函數(shù)中，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（-1）=2+2m，f（x）的最大值趨于f（0）=-1，故函數(shù)的值域為[2+2m，-1）．
當-1≤$\frac{m}{3}$＜-$\frac{1}{2}$，即m∈[-3，-$\frac{3}{2}$]時，f（x）的最小值為f（$\frac{m}{3}$）=-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，最大值為-1，
函數(shù)的值域為[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，-1]．
當-$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{3}$＜0，即m∈[-$\frac{3}{2}$，0）時，f（x）的最小值為f（$\frac{m}{3}$）=-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，最大值為f（-1）=2+2m，
故函數(shù)g（x）的值域為[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，2m+2]．
當m≥0時，f（x）的圖象的對稱軸為x=$\frac{m}{3}$＞0，在區(qū)間[0，1]上，
第一段函數(shù)中，g（x）=|f（x）|（ x≥0），g（0）=1，g（1）=|2m-2|，
當$\frac{m}{3}$＞1，即m＞3時，g（x）的最大值為g（1）=2m-2，最小值為g（0）=1，函數(shù)的值域為[1，2m-2]．
當$\frac{1}{2}$＜$\frac{m}{3}$≤1，即m∈（$\frac{3}{2}$，3]時，g（x）的最大值為g（$\frac{m}{3}$）=|-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$|=1+$\frac{{m}^{2}}{3}$，最小值為g（0）=1，
函數(shù)的值域為[1，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
當0≤$\frac{m}{3}$≤$\frac{1}{2}$，即m∈[0，$\frac{3}{2}$]時，g（x）的最大值為|f（$\frac{m}{3}$）|=1+$\frac{{m}^{2}}{3}$，最小值為g（1）=2-2m，
函數(shù)的值域為[2-2m，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
綜上，g（x）在[-1，1]上的值域：①當m＜-3時，值域為[2+2m，-1]；
②當m∈[-3，-$\frac{3}{2}$]時，值域為[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，-1]；
③當m∈[-$\frac{3}{2}$，0]時，值域為[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，2m+2]；
④當m∈[0，$\frac{3}{2}$]時，[2-2m，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]；
⑤當m∈（$\frac{3}{2}$，3]時，函數(shù)的值域為[-1，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
⑥當m＞3時，函數(shù)的值域為[1，2m-2]．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．