Question

12．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過定點(diǎn)P（e，1），Q（-$\frac{\sqrt{13}}{4}$，e）（e為離心率），方程$\frac{m+n}{{x}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{x}$+1=0有且僅有一個(gè)不為0的實(shí)根（m＞0，n＞0）則$\frac{m}{m-1}$+$\frac{4n}{n-1}$的最小值為$\frac{19}{2}$．

Answer 1

分析 利用橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過定點(diǎn)P（e，1），Q（-$\frac{\sqrt{13}}{4}$，e），求出a²=4或a²=$\frac{4}{3}$．方程$\frac{m+n}{{x}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{x}$+1=0有且僅有一個(gè)不為0的實(shí)根，△=a⁴-4（m+n）=0，可得m+n=4或m+n=$\frac{4}{9}$．再利用基本不等式，即可求出$\frac{m}{m-1}$+$\frac{4n}{n-1}$的最小值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過定點(diǎn)P（e，1），Q（-$\frac{\sqrt{13}}{4}$，e），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{13}{16^{2}}$=1，
∴3a⁴-16a²+16=0，
∴a²=4或a²=$\frac{4}{3}$．
∵方程$\frac{m+n}{{x}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{x}$+1=0有且僅有一個(gè)不為0的實(shí)根，
∴△=a⁴-4（m+n）=0，
∴m+n=4或m+n=$\frac{4}{9}$．
$\frac{m}{m-1}$+$\frac{4n}{n-1}$=5+$\frac{1}{m-1}$+$\frac{4}{n-1}$，
m+n=4時(shí)，$\frac{1}{m-1}$+$\frac{4}{n-1}$=$\frac{1}{2}$（m-1+n-1）（$\frac{1}{m-1}$+$\frac{4}{n-1}$）=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{n-1}{m-1}$+$\frac{4（m-1）}{n-1}$]≥$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n-1}{m-1}$=$\frac{4（m-1）}{n-1}$，取得最小值$\frac{9}{2}$，∴$\frac{m}{m-1}$+$\frac{4n}{n-1}$的最小值為$\frac{19}{2}$；
m+n=$\frac{4}{9}$時(shí)，$\frac{1}{m-1}$+$\frac{4}{n-1}$=-$\frac{9}{14}$（1-m+1-n）（-$\frac{1}{m-1}$-$\frac{4}{n-1}$）=-$\frac{9}{14}$[5+$\frac{1-n}{1-m}$+$\frac{4（1-m）}{1-n}$]≤-$\frac{81}{14}$，不合題意．
故答案為：$\frac{19}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．