Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x|+|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將f（x）寫成分段函數(shù)的形式，再由分類討論得到不等式組，解得即可得到所求解集；
（（Ⅱ）不等式f（x）＞1對任意x∈R恒成立?f（x）_min＞1，由絕對值不等式的性質(zhì)，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=|x|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x，x＜0}\\{1，0≤x≤1}\\{2x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
則f（x）≤3?$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{1-2x≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-1≤3}\end{array}\right.$，
?-1≤x＜0或0≤x≤1或1＜x≤2?-1≤x≤2，
所以，所求不等式的解集為[-1，2]；
另解：當(dāng)a=1時，f（x）=|x|+|x-1|，
由絕對值的幾何意義知，-1，2對應(yīng)點到0，1對應(yīng)點的距離之和為3，
則不等式f（x）≤3的解集為[-1，2]．
（Ⅱ）不等式f（x）＞1對任意x∈R恒成立?f（x）_min＞1，
∵|x|+|x-a|≥|x-（x-a）|=|a|，
∴|a|＞1，即a＞1或a＜-1，
所以實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式的性質(zhì)的運用，以及不等式恒成立思想的運用，考查運算能力，屬于中檔題．