Question

15．已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=2，公差d≠0，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=${2}^{{a}_{n}}$（n∈N^*），求（a_n+b_n）的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列得
2（2+3d）=（2+d）²，
又d≠0，解得d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
a_n+b_n=2n+4ⁿ，
∴S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=n（n+1）+$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列河等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．