Question

3．一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如表（單位：輛）：

	轎車A	轎車B	轎車C
舒適型	100	150	z
標(biāo)準(zhǔn)型	300	450	600

按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（1）求z的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率．

Answer 1

分析 （1）利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量求出n的值，據(jù)總的轎車數(shù)量求出z的值．
（2）先利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，求出抽取一個容量為5的樣本舒適型轎車的輛數(shù)，利用列舉的方法求出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
（3）利用平均數(shù)公式求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，通過列舉得到該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)據(jù)，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答 解：（1）設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，
由題意得$\frac{50}{n}$=$\frac{10}{100+300}$，∴n=2000，…（2分）
∴z=2000-（100+300）-150-450-600=400．…（3分）
（2）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，
由題意，得a=2．
因此抽取的容量為5的樣本中，
有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．…（4分）
用A₁，A₂表示2輛舒適型轎車，用B₁，B₂，B₃表示3輛標(biāo)準(zhǔn)轎車，
用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，
則基本事件空間包含的基本事件有：
（A₁，A₂），（A₁B₁），（A₁B₂），（A₁，B₃，），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，B₃），
（B₁B₂），（B₁，B₃，），（B₂，B₃），共10個，…（6分）
事件E包含的基本事件有：（A₁A₂），（A₁，B₁，），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），共7個，…（8分）
故P（E）=$\frac{7}{10}$，即所求概率為$\frac{7}{10}$．…（9分）
（3）樣本平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{1}{8}$×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（10分）
設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對不超過0.5”，
則基本事件空間中有8個基本事件，…（11分）
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個，…（13分）
∴P（D）=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，即所求概率為$\frac{3}{4}$．…（14分）

點評 本題考查古典概型，考查用列舉法來得到事件數(shù)，考查分層抽樣，是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，這種題目看起來比較麻煩，但是解題的原理并不復(fù)雜．