Question

20．已知函數(shù)f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且f（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{5}$，求$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和值域求得f（x）的最小正周期和值域．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)求得cosα 的值，可得 sinα和 tanα
的值，從而求得$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx=cosx+$\sqrt{3}$sinx+1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{1}$=2π，再根據(jù)sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．
（2）∵α為第二象限角，且f（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{2}$）+1=2cosα+1=-$\frac{1}{5}$，
∴cosα=-$\frac{3}{5}$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{cos2α}{1-tanα}$=$\frac{{2cos}^{2}α-1}{1-tanα}$=$\frac{2×\frac{9}{25}-1}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，正弦函數(shù)的周期性和值域，屬于基礎(chǔ)題．