Question

14．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一點(diǎn)P（x₀，y₀），其中${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，求離心率的范圍．

Answer 1

分析 由橢圓上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的值，得到關(guān)于a，b，c的不等式，求出e的范圍，再與0＜e＜1取交集得答案．

解答 解：∵P（x₀，y₀）是橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)，
∴0≤${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$≤a²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}≥0}\\{\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$e≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e＜1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，關(guān)鍵是把橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等式，是基礎(chǔ)題．