Question

16．已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b+ab+a=30，則$\frac{1}{ab}$的最小值是$\frac{1}{18}$．

Answer 1

分析 由a，b為正實(shí)數(shù)，便有$2b+a≥2\sqrt{2ab}$，從而便可得到$ab+2\sqrt{2}•\sqrt{ab}-30≤0$，把$\sqrt{ab}$看成一個(gè)未知數(shù)，便可解出$\sqrt{ab}$的范圍，從而得出$\frac{1}{ab}$的范圍，即可得出其最小值．

解答 解：a，b為正實(shí)數(shù)；
∴$30=2b+a+ab≥2\sqrt{2}•\sqrt{ab}+ab$；
∴$ab+2\sqrt{2}•\sqrt{ab}-30≤0$；
解得$-5\sqrt{2}≤\sqrt{ab}≤3\sqrt{2}$，a＞0，b＞0；
∴$0＜\sqrt{ab}≤3\sqrt{2}$；
∴0＜ab≤18；
∴$\frac{1}{ab}≥\frac{1}{18}$；
∴$\frac{1}{ab}$的最小值為$\frac{1}{18}$．
故答案為：$\frac{1}{18}$．

點(diǎn)評 考查利用基本不等式求最小值的方法，注意應(yīng)用基本不等式所具備的條件，以及熟練求解一元二次不等式．