Question

17．已知對(duì)一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 求出-a²+4a的最大值，再分類討論，解不等式，即可求x的取值范圍．

解答 解：-a²+4a=-（a-2）²+4≤4，
∵對(duì)一切a∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，
∴|2x+1|+|x+2|≥4
x＜-2時(shí)，|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3≥4，∴x≤-$\frac{7}{3}$；
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1≥4，∴x≤-3，不成立；
x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3≥4，∴x≥$\frac{1}{3}$
綜上，x≤-$\frac{7}{3}$或x≥$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求x的取值范圍，考查函數(shù)的最大值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．