Question

11．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為36，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{25}{18}$
• B． $\frac{25}{9}$
• C． $\frac{25}{3}$
• D． $\frac{50}{18}$

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-$\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此時(shí)z=4a+6b=36，
即$\frac{1}{18}$（2a+3b）=1，
則$\frac{2}{a}+\frac{3}$=$\frac{1}{18}$（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（2a+3b）=$\frac{1}{18}$（4+9+$\frac{6a}$+$\frac{6b}{a}$）≥$\frac{1}{18}$（13+12）=$\frac{25}{18}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{6a}$=$\frac{6b}{a}$，即a=b=1時(shí)，取等號(hào)，
故$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為$\frac{25}{18}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．