Question

16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點(diǎn)，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 先作出圖形，并作出雙曲線的右準(zhǔn)線l，設(shè)P到l的距離為d，根據(jù)雙曲線的第二定義即可求出Q到l的距離為$\frac{3}{2}d$．過(guò)Q作l的垂線QQ₁，而過(guò)P作QQ₁的垂線PM，交x軸于N，在△PMQ中有$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{\frac{1}{2}d}=\frac{2}{5}$，這樣即可求得d=$\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}$，根據(jù)已知條件及雙曲線的定義可以求出|PF₂|=2c-2a，所以根據(jù)雙曲線的第二定義即可得到$\frac{2c-2a}{\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}}=\frac{c}{a}$，進(jìn)一步可整理成$5（\frac{c}{a}）^{2}-12（\frac{c}{a}）+7=0$，這樣解關(guān)于$\frac{c}{a}$的方程即可．

解答 解：如圖，l為該雙曲線的右準(zhǔn)線，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d；
過(guò)P作PP₁⊥l，QQ₁⊥l，分別交l于P₁，Q₁；
∵$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{P}_{1}|}=\frac{|Q{F}_{2}|}{|Q{Q}_{1}|}$，3|PF₂|=2|QF₂|；
∴$\fraclparn5n{|Q{Q}_{1}|}=\frac{2}{3}$，$|Q{Q}_{1}|=\frac{3}{2}d$；
過(guò)P作PM⊥QQ₁，垂直為M，交x軸于N，則：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}=\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{\frac{1}{2}d}=\frac{2}{5}$；
∴解得d=$\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}$；
∵根據(jù)雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₂|=2c-2a；
∴根據(jù)雙曲線的第二定義，$\frac{2c-2a}{\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}}=\frac{c}{a}$；
整理成：$5（\frac{c}{a}）^{2}-12（\frac{c}{a}）+7=0$；
∴解得$\frac{c}{a}=\frac{7}{5}，或\frac{c}{a}=1$（舍去）；
即該雙曲線的離心率為$\frac{7}{5}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準(zhǔn)線方程，雙曲線的焦距、焦點(diǎn)的概念，以及對(duì)雙曲線的定義的運(yùn)用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關(guān)系．