Question

11．命題p：?x∈R，e^x-mx=0，命題q：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]遞減，若p∨（-q）為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-3，e）
• B． [-3，0]
• C． [0，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，e）

Answer 1

分析 首先對函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進一步利用f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]遞減，求出m的范圍，最后利用若p∨（-q）為假命題，求出p假q真，進一步求出結(jié)果．

解答 解：命題p：?x∈R，e^x-mx=0，
則：m=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
則：g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$
當x＞1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
當x＜0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
所以：當x=1時函數(shù)g（x）取極小值，g（1）=e．
所以：函數(shù)g（x）的值域為：（-∞，0）∪[e，+∞）．
即：m∈（-∞，0）∪[e，+∞）．
命題q：f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-mx²-2x在[-1，1]遞減，
所以：f′（x）=x²-2mx-2
由于函數(shù)f（x）在[-1，1]遞減，
所以：$\left\{\begin{array}{l}f′（-1）≤0\\ f′（1）≤0\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$，
由于p∨（-q）為假命題，
則：p假q真，
所以：$\left\{\begin{array}{l}0≤m≤e\\-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$0≤m≤\frac{1}{2}$
故選：C

點評 本題考查的知識要點：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．