Question

7．袋子中裝有大小相同的白球和紅球共7個(gè)，從袋子中任取2個(gè)球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$，每個(gè)球被取到的機(jī)會均等．現(xiàn)從袋子中每次取1個(gè)球，如果取出的是白球則不再放回，設(shè)在取得紅球之前已取出的白球個(gè)數(shù)為x．
（1）求袋子中白球的個(gè)數(shù)；
（2）求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)袋子中有n，（n∈N）個(gè)白球，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{1}{7}$，求解n即可．
（2）由（1）得，袋子中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，X的可能取值為0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小題滿分12分）
（1）解：設(shè)袋子中有n，（n∈N）個(gè)白球，依題意得，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{1}{7}$，…（1分）
即$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}=\frac{1}{7}$，化簡得，n²-n-6=0，…（2分）
解得，n=3或n=-2（舍去）．…（3分）
∴袋子中有3個(gè)白球．…（4分）
（2）解：由（1）得，袋子中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球．…（5分）
X的可能取值為0，1，2，3，…（6分）
P（X=0）=$\frac{4}{7}$，P（X=1）=$\frac{3}{7}×\frac{4}{6}=\frac{2}{7}$，
P（X=2）=$\frac{3}{7}×\frac{2}{6}×\frac{4}{5}=\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{3}{7}×\frac{2}{6}×\frac{1}{5}×\frac{4}{4}=\frac{1}{35}$．…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{35}$

…（11分）
∴EX=$0×\frac{4}{7}+1×\frac{2}{7}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{1}{35}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本小題主要考查古典概型、解方程、隨機(jī)變量的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）等知識，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識．