Question

20．若a=${∫}_{-1}^{1}$（x|x|+sinx+5）dx，則（x-$\frac{1}{2}$）⁶（3x-1）^a展開式的系數(shù)和為16．

Answer 1

分析 首先利用定積分的性質求得實數(shù)a的值，然后賦值令x=1即可求得最終結果．

解答 解：函數(shù)f（x）=x|x|+sinx 是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，則：${∫}_{-1}^{1}（x|x|+sinx）dx=0$，
據(jù)此可得：$a={∫}_{-1}^{1}（x|x|+sinx+5）dx={∫}_{-1}^{1}5dx=（5x）{|}_{-1}^{1}=10$，
則所考查的代數(shù)式為：${（x-\frac{1}{2}）}^{6}{（3x-1）}^{10}$，
令x=1可得其展開式的系數(shù)和為：${（1-\frac{1}{2}）}^{6}×{（3×1-1）}^{10}=\frac{1}{{2}^{6}}×{2}^{10}={2}^{4}=16$．
故答案為：16．

點評 本題考查了定積分的計算，二項式系數(shù)的求解，奇函數(shù)的性質等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．