Question

15．在直三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D'是棱A'C'的中點，且AA'=2$\sqrt{2}$．
（1）試在棱CC'上確定一點M，使A'M⊥平面AB'D'；
（2）當點M在棱CC'中點時，求直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC邊中點為O，則OB⊥AC，連接OD'，建立以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出當CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，A'M⊥平面AB'D'．
（2）當點M在棱CC'中點時，M（0，1，$\sqrt{2}$ ），求出平面A′BM的一個法向量，利用向量法能求出直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．

解答 解：（1）取AC邊中點為O，∵底面ABC是邊長為2的正三角形，∴OB⊥AC，
連接OD'，∵D'是邊A'C'的中點，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，
建立以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸如圖所示的空間直角坐標系…（2分）
則有O（0，0，0），A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），
B'（$\sqrt{3}$，0，2$\sqrt{2}$ ），A'（0，-1，2$\sqrt{2}$ ），D'（0，0，2$\sqrt{2}$ ），C'（0，1，2$\sqrt{2}$ ），
設(shè)M（0，1，t），則$\overrightarrow{{A}^{'}M}$=（0，2，t-2$\sqrt{2}$ ），$\overrightarrow{A{D}^{'}}$=（0，1，2$\sqrt{2}$ ），$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{2}$ ）…（4分）
若A'M⊥平面AB'D'，則有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=0+2+（t-2\sqrt{2}）•2\sqrt{2}=0}\\{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{A{B}^{'}}=0+2+（t-2\sqrt{2}）•2\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即當CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，A'M⊥平面AB'D'．…（6分）
（2）當點M在棱CC'中點時，M（0，1，$\sqrt{2}$ ），
∴$\overrightarrow{B{M}^{'}}$=（-$\sqrt{3}，1，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}^{'}M}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面A′BM的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=-\sqrt{3}x+y+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{n}=0+2y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{2}$），…（9分）
設(shè)直線AB'與平面A'BM所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}^{'}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查滿足線面垂直的點的確定，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．