Question

如圖1­3所示，四棱錐P­ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M為BC上一點(diǎn)，且BM＝，MP⊥AP.

(1)求PO的長(zhǎng)；

(2)求二面角A­PM­C的正弦值．

圖1­3

Answer 1

解：(1)如圖所示，連接AC，BD，因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為菱形，所以AC∩ BD＝O，且AC⊥BD.以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz.

因?yàn)椤?i>BAD＝，

所以OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1，

所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(－，0，0)，＝(0，1，0)，＝(－，－1，0)．

由BM＝，BC＝2知，＝＝，

從而＝＋＝，

即M.

設(shè)P(0，0，a)，a＞0，則＝(－，0，a)，＝.因?yàn)?i>MP⊥AP，所以·＝0，即－＋a²＝0，所以a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.

(2)由(1)知，＝，＝，＝.設(shè)平面APM的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，平面PMC的法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)．

由n₁·＝0, n₁·＝0，得

故可取n₁＝.

由n₂·＝0，n₂·＝0，得

故可取n₂＝(1，－，－2)．

從而法向量n₁，n₂的夾角的余弦值為

cos〈n₁，n₂〉＝＝－，

故所求二面角A­PM­C的正弦值為.