Question

如圖1­4，在棱長為2的正方體ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中點，點P，Q分別在棱DD₁，BB₁上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)當λ＝1時，證明：直線BC₁∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

圖1­4

Answer 1

解：方法一(幾何方法)：

(1)證明：如圖①，連接AD₁，由ABCD­A₁B₁C₁D₁是正方體，知BC₁∥AD₁.

當λ＝1時，P是DD₁的中點，又F是AD的中點，所以FP∥AD₁，所以BC₁∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC₁⊄平面EFPQ，故直線BC₁∥平面EFPQ.

圖①　　　　　　　　　圖②　　　

(2)如圖②，連接BD.因為E，F分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF＝BD.

又DP＝BQ，DP∥BQ，

所以四邊形PQBD是平行四邊形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，從而EF∥PQ，且EF＝PQ.

在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因為BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，

于是EQ＝FP＝，所以四邊形EFPQ也是等腰梯形．

同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形．

分別取EF，PQ，MN的中點為H，O，G，連接OH，OG，

則GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，

故∠GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角．

若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則∠GOH＝90°.

連接EM，FN，則由EF∥MN，且EF＝MN知四邊形EFNM是平行四邊形．

連接GH，因為H，G是EF，MN的中點，

所以GH＝ME＝2.

在△GOH中，GH²＝4，OH²＝1＋λ²－＝λ²＋，

OG²＝1＋(2－λ)²－＝(2－λ)²＋，

由OG²＋OH²＝GH²，得(2－λ)²＋＋λ²＋＝4，解得λ＝1±，

故存在λ＝1±，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．

方法二(向量方法)：

以D為原點，射線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角坐標系．由已知得B(2，2，0)，C₁(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

圖③　　　　

＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．

(1)證明：當λ＝1時，FP＝(－1，0，1)，

因為＝(－2，0，2)，

所以＝2，即BC₁∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC₁⊄平面EFPQ，故直線BC₁∥平面EFPQ.

(2)設平面EFPQ的一個法向量為n＝(x，y，z)，則由可得

于是可取n＝(λ，－λ，1)．

同理可得平面MNPQ的一個法向量為m＝(λ－2，2－λ，1)．

若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，

則m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，

即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.

故存在λ＝1±，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．