Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=t有3個(gè)不等根x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則x₃-x₁的取值范圍為（　�。�

• A． （2，$\frac{5}{2}$]
• B． （2，$\frac{9}{4}$]
• C． （2，$\frac{11}{4}$]
• D． （2，3）

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$與y=t的圖象，從而可得0＜t＜1，x₁=-t，x₃=$\frac{2+\sqrt{4-4t}}{2}$=1+$\sqrt{1-t}$；從而可得x₃-x₁=1+$\sqrt{1-t}$+t=-（$\sqrt{1-t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$；從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$與y=t的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，0＜t＜1；
x₁=-t，x₃=$\frac{2+\sqrt{4-4t}}{2}$=1+$\sqrt{1-t}$，
故x₃-x₁=1+$\sqrt{1-t}$+t=-（$\sqrt{1-t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$；
故2＜x₃-x₁≤$\frac{9}{4}$；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生作圖的能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了配方及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．