Question

1．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值為-$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理求得cosA，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×4×$\frac{7}{8}$=14，再由內(nèi)角平分線(xiàn)定理，可得AD=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，再由向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由余弦定理可得cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$
=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×4×$\frac{7}{8}$=14，
由BD為∠ABC的平分線(xiàn)，可得
$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{4}{2}$=2，
AD=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
即有$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$×16-14=-$\frac{10}{3}$．
故答案為：-$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義及性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，以及內(nèi)角平分線(xiàn)定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．