Question

6．如圖所示，由直線x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應小矩形與大矩形的面積之間，即a²＜${∫}_{a}^{a+1}$x²dx＜（a+1）²．類比之，?n∈N^*，$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，則實數(shù)A=ln2．

Answer 1

分析 令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，根據(jù)定積分的定義得到：A₁=-lnn+ln（n+1），同理求出A₂，A₃，…，A_n的值，相加求出即可．

解答 解：令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，
由題意得：$\frac{1}{n+1}$＜A₁＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜A₂＜$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n+3}$＜A₃＜$\frac{1}{n+2}$，…，$\frac{1}{2n}$＜A_n＜$\frac{1}{2n-1}$，
∴A₁=${∫}_{n}^{n+1}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{n}^{n+1}$=ln（n+1）-lnn，
同理：A₂=-ln（n+1）+ln（n+2），A₃=-ln（n+2）+ln（n+3），…，A_n=-ln（2n-1）+ln2n，
∴A=A₁+A₂+A₃+…+A_n
=-lnn+ln（n+1）-ln（n+1）+ln（n+2）-ln（n+2）+ln（n+3）-…-ln（2n-1）+ln2n
=ln2n-lnn
=ln2，
故答案為：ln2．

點評 本題考查定積分的簡單應用，根據(jù)定積分的定義得到A₁，A₂，A₃，…，A_n的值是解題的關鍵，本題是一道中檔題．