Question

15．已知實數(shù)a∈{-2，-1，1，2}，b={-2，-1，1，2}．
（1）求點（a，b）在第一象限的概率；
（2）求直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出滿足條件的點（a，b）共有4×4=16個，再用更舉法過河卒子同點（a，b）在第一象限的基本事件個數(shù)，由此能求出點（a，b）在第一象限的概率．
（2）由直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點，b²≤a²+1，利用列舉法求出滿足條件直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點的基本事件個數(shù)，由此能求出直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點的概率．

解答 解：（1）∵實數(shù)a∈{-2，-1，1，2}，b={-2，-1，1，2}，
∴滿足條件的點（a，b）共有4×4=16個，
點（a，b）在第一象限的情況有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4個，
∴點（a，b）在第一象限的概率p=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=ax+b}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²+2abx+b²-1=0，
∵直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點，
∴△=4a²b²-4（a²+1）（b²-1）≥0，
∴b²≤a²+1，
∴當(dāng)a=-2時，b可取-2，-1，1，2，
當(dāng)a=-1時，b可取-1，1，
當(dāng)a=1時，b可取-1，1，
當(dāng)a=2時，b可取-2，-1，1，2，
∴滿足條件直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點的基本事件個數(shù)m=12種，
基本事件總數(shù)n=16種，
∴直線y=ax+b與圓x²+y²=1有公共點的概率p=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．