Question

20．已知橢圓C：9x²+16y²=1和圓O：25x²+25y²=1，直線l與圓O相切且與橢圓C交于M，N兩點，則角∠MON=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由題意分直線l的斜率存在和不存在分析，當直線l的斜率不存在時，求出M，N的坐標，由向量數(shù)量積為0可得∠MON=$\frac{π}{2}$；當直線的斜率不存在時，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，借助于根與系數(shù)的關(guān)系及平面向量數(shù)量積的運算求得$∠MON=\frac{π}{2}$．

解答 解：當直線l與與圓O相切時，且斜率不存在時，直線方程為x=$±\frac{1}{5}$，
當直線方程為x=$\frac{1}{5}$時，可得兩點坐標為（$\frac{1}{5}，\frac{1}{5}$），（$\frac{1}{5}，-\frac{1}{5}$），
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，∴∠MON=$\frac{π}{2}$；同理當x=-$\frac{1}{5}$時，∠MON=$\frac{π}{2}$；
當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線方程為y=kx+b，
由直線與圓相切，可得d=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$，即25b²=k²+1  ①，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0．
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{32kb}{9+16{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{16^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}=\frac{25^{2}-{k}^{2}-1}{9+16{k}^{2}}$  ②，
由①②得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即$∠MON=\frac{π}{2}$．
綜上，∠MON=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量在解題中的應用，是中檔題．