Question

11．如圖，三棱錐A-BCD中，對棱AB與CD所成角為60°，且AB=CD=α，該三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH．
（1）求證：CD∥平面EFGH；
（2）E在AD的何處時，截面面積最大？并求面積的最大值；
（3）求證：四邊形EFGH的周長為定值．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥GH，從而EF∥平面BCD，進而EF∥CD，由此能證明CD∥平面EFGH．
（2）設$\frac{AE}{AD}$=x，則S=ax•（1-x）asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1-x）x{a}^{2}$，由此能求出E為AD的中點時截面面積最大，并能求出面積的最大值．
（3）四邊形EFGH的周長：C=2（EF+EH），由此能證明四邊形EFGH的周長為定值．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥GH，又GH?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD，
∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
（2）解：設$\frac{AE}{AD}$=x，則EF=xCD=ax，EH=（1-x）AB=（1-x）a，∠FEH=60°，
∴S=ax•（1-x）asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1-x）x{a}^{2}$，
當x=$\frac{1}{2}$時，${S}_{max}=\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，
∴E為AD的中點．
（3）證明：由（2）知，
四邊形EFGH的周長：
C=2（EF+EH）=2[ax+a（1-x）]=2a為定值．

點評 本題考查線面平行的證明，考查截面面積最大時點的位置的確定，考查四邊形EFGH的周長為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．